С Mango Office через их API. Или как SIP софтфон с любой другой.

Нет. Выбор АТС не влияет на интеграцию с 1С. Но с FreePBX у панели 2 на данный момент нет интеграции.

Попробуйте отключить антивирусы/файрволы. Внешняя панель соединяется с 1С по TCP протоколу, возможно ей что-то мешает.

Воспроизвел, но на звонке 21961. 21953 - это исходящий звонок. Ошибка возникает при записи в регистр сфпИсторияЗвонков. Как и вы и написали, звонок из очереди поступает на оператора. Это две записи в расшифровке звонка, дата у них совпала.

Исправим в ближайшем релизе, сегодня/завтра.

Уточните еще, какая у вас конфигурация 1С.

Это странно. Ведь если это один звонок, то и запись в 1С создается одна. А если два разных, то у них должны быть два разных номера. Откройте в браузере http://127.0.0.1:8222/pbx/history/2000, где у вас вместо 127.0.0.1 будет адрес аскозии, в место 2000 - номер последней загруженной записи в  журнале. Посмотрим, что приходит в 1С и вызывает ошибку.

Проблему с правами доступа полагаю можно исключить. Вероятно у документа не заполнились реквизиты. Вы можете в конфигураторе поставить точку на этой строке и посмотреть, что не заполнено? В первую очередь обратить внимание следует на реквизиты Дата, Номер и НомерТелефонаИндекс.

Ошибка при выполнении регламентного задания или нажимаете "обновить" в журнале?

Нам о такой не известно.Это известная проблема, ошибка зарегистрирована.Похожие симптомы бывают, когда два софтфона зарегистрированы на один номер. Периодически один из них может не работать.

Если в панели звонки видно, то карточка должна открываться. Проверьте еще раз по инструкции, что права есть, добавочный у пользователя указан, в персональны настройках выставлено - открывать карточку клиента.
https://wiki.telefon1c.ru/nightbird:prepare-1c

Работаете с настольным телефоном или гарнитурой?

Во внешней панели входящие звонки отображаются?

"ПриНачалеРазговора" - для версии 2, а "FROMDID" или "FROM_DID" и не должны встречаться в коде, мы это не используем. Но сами переменные канала могут быть доступны для извлечения во время разговора. Вы можете взять процедуру, которая выполняется при поднятии трубки. Посмотреть как извлекаются другие переменные канала и сделать по аналогии.

В панели телефонии 1й редакции номер линии можно попытаться извлечь во время разговора из переменной канала FROMDID или FROM_DID. Во 2й редакции номер линии содержится в переменной, которая передается в процедуру ПриНачалеРазговора.

Вы обновили на 2.0.4.0 или поставили с нуля?

Сами роли тоже проверьте. Есть в них права на чтение этого регистра?