Суть задачи сводится к изучению программного кода внешней панели и его правке / использованию существующих возможностей.
Исходный код внешней панели открыт и обычно расположен в директории:
По этому вопросу готовы помочь только в рамках платной поддержки:
https://telefon.miko.ru/contacts/
Создайте заявку, попробуем помочь с реализацией.

Приложите логи из панели телефонии
https://telefon.miko.ru/forum/forum18/topic851/messages/messages/

Какая АТС используется?
По идее, после того, как 104 положит трубку, только после этого 108 начнет говорить с клиентом.
Суть утверждения не понятна.

Попробуйте выполнить рекомендации:
https://telefon.miko.ru/forum/forum28/topic1440/messages/messages/

Обязательно выполните резервное копирование.

планов поддержки этого дистрибутива после того, как их купили 3CX нет.
рекомендованные нами дистрибутивы описаны на сейте
https://wiki.miko.ru/astpanel:ats

У меня не вышло смоделировать эту ситуацию на FreePBX 13 с актуальными модулями.
Я пробовал указывать cid для:

• транка
  
• исходящего маршрута
  
• для extension
  

Опишите как Вы настроили АТС. Как мне воспроизвести ситуацию.
Вызов в Вашем случае отмечен как пропущенный - скорее всего вызов неудачный / не дозвонились. Приложите лог этого звонка.  

Это разные ситуации. Создайте отдельную тему.
Опишите версии используемых модулей FreePBX.
Опишите версию модуля статистики. В текущей теме обсуждать FreePBX не будем.
Это НЕ корректное утверждение. Принцип исходящего описан в статье:
https://telefon.miko.ru/products/panel-telefonii/#clicktocall
Это именно исходящий звонок.  

С этой станцией модуль не может работать.  

получается - да, нужно "соединить две базы"местоположение базы данных истории звонков можно подсмотреть тут:https://qa.askozia.ru/4444/сломалась-история-звонков

если Вы форматировали диск - то вероятно и старых записей разговоров нет на новом диске. Нужно восстанавливать из резервной копии.

Все вопросы по Askozia Вы можете задать на форуме https://qa.askozia.ru/questions
Текущий форум относится к модулю статистики.  

возможно форма была открыта дважды... каким то образом )  

Регистры ни при чем. Был удален старый файл базы данных истории звонков.
В новом файле нет информации по старым звонкам.

При скачивании / прослушивании записи из 1С идет обращение к базе данных на АТС. Информации по старым звонкам нет - потому и прослушать нет возможности.  

Вы либо выполните рекомендации или просто ничего не изменится.
Пока вы игнорируете рекомендации:

• снять лог
  
• попробовать сделать звонков через другого провайдера
  

Подключите любого другого провайдера, к примеру zadarma
Проведите тест с ним, я уверен, что не воспроизведется беда.  

Попробуйте снять лог, как описано в инструкции приложите вложением.
http://wiki.askozia.ru/handbook:tcpdump

для каждого случай свой лог. вышлите поставщику услуг связи.
возможно они увидят причины проблемы и скажут что именно следует поправить.  

У Вас что то с внешней линией не так.
Вызов отмечается как NO ANSWER. Вы можете в этом убедиться, если найдете вызов в истории звонков, в отчете на АТС.

Попробуйте снять лог, как описано в инструкции приложите вложением.
http://wiki.askozia.ru/handbook:tcpdump

У Вас несколько линий на исходящие? Есть ли звонки, где вызов отображается корректно?  

Вы приложили лог вызова без ответа.

• Статус звонка NO ANSWER.
  
• Страт - 30.10.2017  9:51:54
  
• Завершение - 30.10.2017  9:52:57
  

Судя по всему до клиента не дозвонились.