Не обратил внимание на это сразу.
В этом режиме работы вызов осуществляется аналогично, если бы Вы набирали номер с телефона на прямую.
Скорее всего проблема в организации сети и в настройках станции / телефонов.

Обратитесь к документации АТС, документации телефонов.

В логи АТС, смотрите сообщения об ошибках. Обратитесь к документации АТС.

Где запускаете 1С с нашей обработкой? RDP или локальная машина?
Смотрите в логи на АТС.

Начните с логов
На wiki описали инструкции по включению режима отладки.

Какая версия журнала используется?
Как заведены входящие на АТС?
Кто выступает в роли провайдера?
Правильно ли я понял:

• Актуально только для входящих
  
• Все входящие идут на один и тот же маршрут вызовов
  

Как воспроизвести ситуацию? На наших серверах мы не замечали подобного.

Помимо логов, как это сообщение влияет на работоспособность системы?
На сколько критичен этот момент?

Убедитесь, что профиль настроек назначен пользователю
http://wiki.miko.ru/astpanel:enterprise:ordinary#profili_nastroek
Попробуйте:

1. Удалить пользователя из состава профиля
   
2. Добавить его снова
   
3. Сохранить изменения
   

Попробуйте начать с документации MySQL
2.5.1 Installing MySQL on Linux Using the MySQL Yum Repository

http://dev.mysql.com/doc/refman/5.6/en/linux-installation-yum-repo.html#yum-install-components
Будте аккуратны, не забывайте о резервных копиях.

Альтернативные варианты:

1. Перейти на другие сборки, новые версии Elastix, FreePBX Distro
   
2. Обратиться за помощтю в настройке к нашим партнерам оценят работы, сделают надежно
   

Используйте поле "Адрес АТС"

На всякий случай укажите поля:

• Порт AJAM - 8088
  
• Логин AMI - 1cami
  
• Пароль AMI - PASSWORD1cami
  

Эти поля не будут использоваться, просто не будет "красной подсветки".
Так и должно быть.
Хост должен указываться на вкладке профилей.  

Плагин  pt1c должен запуститься. Пробуйте.
http://wiki.miko.ru/astpanel:ats:elastix

Не вижу препятствий для работы с этой версией Asterisk.
В версии 1.8.20.0 были замечены проблемы только с факсами.
Работа плагина не тестировалась на этой версии. Не забывайте о резинам копировании перед работами.
Допускаю, что может потребоваться ручная настройка
http://wiki.miko.ru/astpanel:ats:asterisk_v6

Дело не в нашей обработке. Обработка опирается на существующие данные.

При разработке мы опираемся на технологии и структуру данных БСП (библиотеки стандартных подсистем).
Инструкции для разработчиков описаны в специальном разделе сайта its.1c.ru
http://its.1c.ru/db/bspdoc#content:436:1:issogl2_настройка_объектов_владельцев_контактной_информации
Это стандарт фирмы 1С по разработке прикладных решений.

Мы можем доработать для Вас механизмы загрузки / обмена данными (скорее всего дело в них), на платной основе.

Ответ дан в сообщении #4 и в отдельной теме, в сообщении #15.
Обработка панель телефонии производит поиск по полю "НомерТелефона".
Если контактная информация заполняется не корректно (программно), то поиск не может быть произведен.
Дорабатывайте загрузку с сайта.  

Криво грузятся номера телефонов с сайта.
Скорее всего сохраняются в "Представление" номера, но не сохраняются в поле "НомерТелефона" (см скрин во вложении).
Поиск производится по полю "НомерТелефона".

Если контактная информация заполняется не корректно (программно), то поиск не может быть произведен.
Дорабатывайте загрузку с сайта.

Я проверил, на следующей конфигурации:

1. Номер телефона заполнил у клиента, контрагента, контактного лица.
   
2. Выбрал эти элементы справочников в заказа (см скриншот "Заказ клиента").
   
3. После нажатия кнопки "Позвонить" появилось окно выбора номера телефона.
   

Проверяйте выполнение инструкций.