У вас судя по ошибке, выполняется подключение в режиме long-poll. А для это запускаются регламентные задания. Проверьте их расписание, в полночь они могли быть и отключены.

Данные методы не работают в связке с настольным телефоном. Панель телефонии должна быть версии не ниже 4.8.X и работать как софтон. В качестве идентификатора звонка должен быть передан параметр, который можно получить в процедурах ПриВозникновенииВызова и ПриНачалеРазговора.

Нужно обновить АТС. Тогда станут доступны более свежие версии модулей.

Проблема в применении стилей расположенных в расширении. Если база работа в клиент-серверном режиме, то чистить нужно серверный кэш. Выгонять пользователей, останавливать сервер 1С.
C:\Program Files\1cv8\srvinfo\reg_1541\snccntx*

В сторону регламентных заданий и стоит копать. Во-первых, они могут быть отключены в консоли администрирования сервера 1С. Во-вторых, ошибки выполнения. Их можно проверить в журнале регистрации. Ещё дальше конфигуратор и отладчик. И фаервол - сервер 1С должен иметь доступ к АТС.

Если между 1С и АТС long-polling соединение используется, то на стороне 1С должны работать регламентные задания. Можно в настройках подсистемы посмотреть расписание их работы.

Возможно у пользователя, который должен подставляться как адресат, не заполнен или устарел его идентификатор в системе взаимодействия. Нужно открыть список идентификаторов и перезаполнить их.

e1cib/list/РегистрСведений.ПТ20_ИдентификаторыСистемыВзаимодействия

Вся информация о звонках берется из AMI. Во FreePBX запись ищется в двух местах:
1. Переменная канала MIXMONITOR_FILENAME, читается сразу после начала разговора.
2. Событие cdr, после завершения разговора.

Вот единственное место, где формируется ошибка с такой формулировкой - это при проверке результатов выполнения фоновых заданий. А дальше только с отладчиком в конфигураторе проверять.

Запрос прерывается по таймауту. Вам стоит обновить расширение до последней версии 2.2.8.28. Тогда в настройках подсистемы сможете увеличить таймаут на ожидание.

А звонки при этом были? Тогда возможно удалили базу данных звонков модуля панели телефонии. И сейчас номер последней загруженной записи отличается от номера на АТС. Чтобы исправить это, нужно открыть Настройки подсистемы телефонии -> Журнал звонков и попробовать автоматически определить шаг смещения записей.

Смотрите модуль панели телефонии. На вкладке отладки может быть информация об ошибке.

Это не похоже на ответ сервера 1С. Проверьте, куда вы подключаетесь. Попробуйте для начала в браузере войти в веб-клиент

Есть вероятность, что проблема в регистре символов имени публикации базы. Если база опубликована как AOUNF, а в настройках подключения написано aounf, то будет выполнятся иной запрос с другим исходом.

Возможно отключены фоновые задания? В журнале есть плеер, который фоновыми заданиями подгружает записи разговоров. И если не удается определить причину неудачного завершения задания, может быть такая ошибка.